Exercice 31 : Machines

Un chef d'entreprise désire changer son ancienne machine produisant des pièces d'un certain type au rythme moyen de $1214$ pièces par jour avec un écart-type de $35.4$ pièces par jour. Via l'Approche Expérimentale, ces caractéristiques correspondent respectivement à la moyenne et à l'écart-type des productions quotidiennes obtenues si on pouvait faire tourner cette machine pendant une infinité de jours (il est sous-entendu que le chef d'entreprise ne l'a constaté que pour une période de $m$ jours avec $m$ très très grand).

Partie 1
Un représentant lui propose une nouvelle machine (que l'on appellera machine 1) produisant des pièces du même type. Le chef d'entreprise souhaite l'acheter à condition qu'il soit assuré que cette machine 1 est d'une part plus performante (c'est à dire, de moyenne théorique une fois et demi plus grande que son ancienne machine de référence) et d'autre part plus régulière (c'est à dire, d'écart-type théorique deux fois plus petit que l'ancienne). Soient $\mu^{M1}$ et $\sigma_{M1}$, les caractéristiques de la machine 1 correspondant respectivement à la moyenne et à l'écart-type des productions quotidiennes obtenues si on pouvait faire tourner la machine 1 pendant une infinité de jours.

(1) Exprimer à partir de $\mu^{M1}$ et $\sigma^2_{M1}$ (ou $\sigma_{M1}$) les deux conditions d'achat de la nouvelle machine exprimées par le chef d'entreprise.
Pour espérer connaître les ordres de grandeur de ces quantités inconnues, le chef d'entreprise demande au représentant une période d'essai de 100 jours. Le vecteur ${\mathbf{ y^{M1} }}=(y_1^{M1},y_2^{M1},\ldots,y_{100}^{M1})$ représente les nombres de pièces fabriquées pour chaque jour de cette période d'essai. Ce vecteur de données a été préalablement saisi dans le logiciel R sous le nom $\mathtt{yM1}$.

(2) Peut-on conseiller au chef d'entreprise d'acheter la machine 1 (lorsqu'on sait qu'il accepte que tout test statistique est généralement traité à un seuil de signification $\alpha=5\%$) ?

R> yM1
  [1] 1844 1828 1837 1833 1831 1818 1836 1837 1840 1820 1845 1815 1831 1839 1824
 [16] 1839 1836 1840 1822 1824 1820 1839 1849 1846 1817 1822 1832 1846 1832 1834
...
 [76] 1810 1838 1844 1830 1830 1829 1807 1797 1814 1807 1844 1834 1827 1841 1830
 [91] 1830 1834 1840 1832 1844 1815 1825 1821 1840 1821

Performance

R> mean(yM1)
[1] 1830.13
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> deltaEst.H0
[1] 8.197877
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 1

Régularité

R> var(yM1)
[1] 124.0334
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> deltaEst.H0
[1] -11.41626
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 1.734226e-30

Partie 2
Le chef d'entreprise prêt à acheter la machine 1 reçoit la visite d'un second représentant vantant les mérites de sa machine (que l'on appellera bien évidemment machine 2) par rapport à toutes les autres existant sur le marché. Les machines 1 et 2 étant de prix équivalents, le chef d'entreprise convaincu par l'éloquence du représentant décide de tester cette seconde machine sur une période de $n^{M2}=50$ ($ Définissons par $\mu^{M2}$ et $\sigma_{M2}$, les caractéristiques de la machine 2. On stockera les productions quotidiennes sur 50 jours dans le vecteur $y^{M2}$, préalablement saisi en $\mathtt{R}$ sous le nom $\mathtt{yM2}$ :

R> yM2
 [1] 2025 2045 2017 2024 2016 2025 2023 2020 2008 2025 2017 2014 2024 2028 2009
[16] 2023 2024 2034 2023 2024 2029 2032 2013 2017 2019 2022 2023 2005 2031 2012
...
[31] 2014 2032 2018 2022 2035 2024 2034 2012 2017 2015 2020 2015 2018 2020 2033
[46] 2025 2026 2026 2023 2014

(1) Peut-on montrer que les productions moyennes des deux machines sont différentes ?

Réponse

A propos de la performance :

Préliminaire : puisque \(\mathtt{(mean(yM1)-mean(yM2)-0)}\simeq-191.75\) est du même signe (i.e. positif) que \(\mathtt{deltaEst.H0}\) (car p-valeur gauche inférieure à \(50\%\)), on a :

• paramètre d'intérêt : \(d_\mu=\mu^{M1}-\mu^{M2}\)
• sa future estimation : \(\widehat{ d_\mu }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)=\widehat{ \mu^{M1} }\left({\mathbf{ { Y^{M1} } }}\right)-\widehat{ \mu^{M2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2} } }}\right)\)

Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(d_\mu=0\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(d_\mu\neq0\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) : \[ \widehat{ \delta_{d_\mu,0} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ d_\mu }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)-0}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ d_\mu}} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si p-valeur (biltatérale) < \(5\%\)
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{2*pnorm((mean(yM1)-mean(yM2)-0)/seDMean(yM1,yM2))} \simeq 0.0\% < 5\%, $$ on peut (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que les productions moyennes des deux machines sont différentes.

(2) Peut-on montrer que la seconde machine produit plus (en moyenne) et plus régulièrement que la machine 1 ?
Performance

R> mean(yM2)
[1] 2021.88
R> mean(yM1)-mean(yM2)
[1] -191.75
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> deltaEst.H0
[1] -122.3457
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0

Régularité

R> var(yM2)
[1] 60.80163
R> var(yM1)-var(yM2)
[1] 63.2318
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> deltaEst.H0
[1] 2.992739
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.9986176

Réponse

A propos de la performance :

Préliminaire : puisque \(\mathtt{(mean(yM1)-mean(yM2)-0)}\simeq-191.75\) est du même signe (i.e. positif) que \(\mathtt{deltaEst.H0}\) (car p-valeur gauche inférieure à \(50\%\)), on a :

• paramètre d'intérêt : \(d_\mu=\mu^{M1}-\mu^{M2}\)
• sa future estimation : \(\widehat{ d_\mu }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)=\widehat{ \mu^{M1} }\left({\mathbf{ { Y^{M1} } }}\right)-\widehat{ \mu^{M2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2} } }}\right)\)

Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(d_\mu=0\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(d_\mu<0\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) : \[ \widehat{ \delta_{d_\mu,0} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ d_\mu }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)-0}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ d_\mu}} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si p-valeur (gauche) < \(5\%\)
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{pnorm((mean(yM1)-mean(yM2)-0)/seDMean(yM1,yM2))} \simeq 0.0\% < 5\%, $$ on peut (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que les productions moyennes des deux machines sont différentes.
A propos de la régularité :

Préliminaire : puisque \(\mathtt{(var(yM1)-var(yM2)-0)}\simeq63.2318\) est du même signe (i.e. positif) que \(\mathtt{deltaEst.H0}\) (car p-valeur gauche inférieure à \(50\%\)), on a :

• paramètre d'intérêt : \(d_{\sigma^2}=\sigma^2_{M1}-\sigma^2_{M2}\)
• sa future estimation : \(\widehat{ d_{\sigma^2} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)=\widehat{ \sigma^2_{M1} }\left({\mathbf{ { Y^{M1} } }}\right)-\widehat{ \sigma^2_{M2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2} } }}\right)\)

Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(d_{\sigma^2}=0\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(d_{\sigma^2}>0\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) : \[ \widehat{ \delta_{d_{\sigma^2},0} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ d_{\sigma^2} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)-0}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ d_{\sigma^2}}} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si p-valeur (droite) < \(5\%\)
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((var(yM1)-var(yM2)-0)/seDVar(yM1,yM2))} \simeq 0.14\% < 5\%, $$ on peut (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que la seconde machine produit plus régulièrement que la première.

(3) Peut-on montrer que la seconde machine produit 190 pièces de plus par jour (en moyenne) que la première ?

(4) La seconde machine est-elle 1.5 fois plus régulière (i.e. de variance 1.5 fois plus petite) que la première ?

R> (mean(yM1)-mean(yM2)+190)/seDMean(yM1,yM2)
[1] -1.116584
R> pnorm( (mean(yM1)-mean(yM2)+190)/seDMean(yM1,yM2) )
[1] 0.1320861
R> (var(yM1)/var(yM2)-1.5)/seRVar(yM1,yM2)
[1] 1.044032
R> pnorm((var(yM1)/var(yM2)-1.5)/seRVar(yM1,yM2))
[1] 0.8517646
R> pnorm((var(yM2)/var(yM1)-1/1.5)/seRVar(yM2,yM1))
[1] 0.07782401

Réponse

A propos de la performance :

Préliminaire : puisque \(\mathtt{(mean(yM1)-mean(yM2)--190)}\simeq-1.75\) est du même signe (i.e. positif) que \(\mathtt{deltaEst.H0}\) (car p-valeur gauche inférieure à \(50\%\)), on a :

• paramètre d'intérêt : \(d_\mu=\mu^{M1}-\mu^{M2}\)
• sa future estimation : \(\widehat{ d_\mu }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)=\widehat{ \mu^{M1} }\left({\mathbf{ { Y^{M1} } }}\right)-\widehat{ \mu^{M2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2} } }}\right)\)

Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(d_\mu=-190\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(d_\mu<-190\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) : \[ \widehat{ \delta_{d_\mu,-190} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ d_\mu }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)-(-190)}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ d_\mu}} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si p-valeur (gauche) < \(5\%\)
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{pnorm((mean(yM1)-mean(yM2)-(-190))/seDMean(yM1,yM2))} \simeq 13.21\%\nless5\%, $$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que les productions moyennes des deux machines sont différentes.
A propos de la régularité :
une des deux possibilités suivantes est admise.

• Cas où paramètre d'intérêt est : $r_{\sigma^2}=\displaystyle \frac{\sigma^2_{M1}}{\sigma^2_{M2}}$

Préliminaire : puisque \(\mathtt{(var(yM1)/var(yM2)-1.5)}\simeq0.5399688\) est du même signe (i.e. positif) que \(\mathtt{deltaEst.H0}\) (car p-valeur gauche inférieure à \(50\%\)), on a :
• paramètre d'intérêt : \(r_{\sigma^2}=\displaystyle \frac{\sigma^2_{M1}}{\sigma^2_{M2}}\)
• sa future estimation : \(\widehat{ r_{\sigma^2} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)=\widehat{ \sigma^2_{M1} }\left({\mathbf{ { Y^{M1} } }}\right)/\widehat{ \sigma^2_{M2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2} } }}\right)\)

Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(r_{\sigma^2}=1.5\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(r_{\sigma^2}>1.5\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) : \[ \widehat{ \delta_{r_{\sigma^2},1.5} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ r_{\sigma^2} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right)-1.5}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ r_{\sigma^2}}} }\left({\mathbf{ { Y^{M1},Y^{M2} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si p-valeur (droite) < \(5\%\)
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((var(yM1)/var(yM2)-1.5)/seRVar(yM1,yM2))} \simeq 14.82\%\nless5\%, $$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que la seconde machine est de variance 1.5 fois plus petite que la première.
• Cas où paramètre d'intérêt est : $r_{\sigma^2}=\displaystyle \frac{\sigma^2_{M2}}{\sigma^2_{M1}}$

Préliminaire : puisque \(\mathtt{(var(yM2)/var(yM1)-1/1.5)}\simeq-0.1764631\) est du même signe (i.e. positif) que \(\mathtt{deltaEst.H0}\) (car p-valeur gauche inférieure à \(50\%\)), on a :
• paramètre d'intérêt : \(r_{\sigma^2}=\displaystyle \frac{\sigma^2_{M2}}{\sigma^2_{M1}}\)
• sa future estimation : \(\widehat{ r_{\sigma^2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2},Y^{M1} } }}\right)=\widehat{ \sigma^2_{M2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2} } }}\right)/\widehat{ \sigma^2_{M1} }\left({\mathbf{ { Y^{M1} } }}\right)\)

Hypothèses de test : \(\mathbf{H}_0:\) \(r_{\sigma^2}=1/1.5\) vs \(\mathbf{H}_1:\) \(r_{\sigma^2}<1/1.5\)
Statistique de test sous \(\mathbf{H}_0\) : \[ \widehat{ \delta_{r_{\sigma^2},1/1.5} }\left({\mathbf{ { Y^{M2},Y^{M1} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ r_{\sigma^2} }\left({\mathbf{ { Y^{M2},Y^{M1} } }}\right)-1/1.5}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ r_{\sigma^2}}} }\left({\mathbf{ { Y^{M2},Y^{M1} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \]
Règle de décision : Accepter \(\mathbf{H}_1\) si p-valeur (gauche) < \(5\%\)
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{pnorm((var(yM2)/var(yM1)-1/1.5)/seRVar(yM2,yM1))} \simeq 7.78\%\nless5\%, $$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de \(5\%\)) que la seconde machine est de variance 1.5 fois plus petite que la première.