Dyndoc Session

Exercice 22 : prime encouragement pour la qualité du produit A - contrôle continu 2003

Comme chaque année l'industriel afin d'encourager ses employés décide de leur verser une prime de fin d'année si la clientèle (potentielle) juge le produit A de bonne qualité. Sur une échelle de valeurs entre 0 et 10 mesurant le degré de satisfaction, le produit est jugé de bonne qualité si la note moyenne (sur les $N=2000000$ acheteurs potentiels), notée $\mu^Q$, est strictement supérieure à 6 prouvant une qualité plus qu'honorable de son produit.
Partie I (du point de vue de l'industriel)
(1) Exprimez l'affirmation d'intérêt conduisant à récompenser les employés en fonction du paramètre d'intérêt $\mu^Q$.

L'affirmation d'intérêt s'écrit : les employés sont récompensés si $\mu^Q>6$.

(2) De quelles informations doit-on disposer pour évaluer le paramètre $\mu^Q$? Est-ce envisageable en pratique ?

Pour connaître le paramètre $\mu^Q$, il faut disposer des réponses des $N$ consommateurs potentiels, ce qui n'est pas envisageable en pratique.

Pour apporter un élément de réponse, on décide d'interroger un échantillon de 200 personnes. Chacun d'eux se prononce donc sur la qualité du produit A à travers une note de 0 à 10. En $\texttt{R}$, on stocke le jeu de données ${\bold{ y^Q }}$ dans le vecteur $\texttt{yQ}$ :

R> yQ
  [1]  9  4  3  7  6  8  2  7  3  9  9  4  8  9  4  8 10  4  9  5  2  7  2  3  2
 [26]  4  9  6 10  8  5  5  5  5 10  7  4  4  4  4  6  8  2  8  9  5  7  8  6  4
...
[151]  7 10  6  5  4  9  5  6  4  2  6  7  5  6 10  8  6  5  9  7  2  2  2  8  9
[176]  6  3  8  7  6  3  8 10  2  2  8  9 10  9  8  2  7  7 10  3  3  2  9  7  6

(3) Décrivez littéralement les deux erreurs de décision.

Erreur I : récompenser les employés alors que le produit n'est pas de bonne qualité.
Erreur II : ne pas récompenser les employés alors que le produit est de bonne qualité.

(4) Précisez pour quelle(s) valeur(s) du paramètre d'intérêt $\mu^Q$ inconnu chacune de ces deux erreurs intervient.

L'erreur I intervient lorsque $\mu^Q\leq 6$ alors que l'erreur II intervient lorsque $\mu^Q> 6$.

(5) Quelle vous semble être la plus grave de ces deux erreurs du point de vue de l'industriel ?

Du point de vue de l'industriel, l'erreur I semble être la plus grave.

(6) A votre avis autour de quelles valeurs de $\mu^Q$ la décision vous semblera-t-elle difficile à prendre (cette valeur constituera la pire des mauvaises situations) ?

La décision semblera difficile à prendre autour de la valeur $6$ pour le paramètre $\mu^Q$.

(7) Dans la pire des situations (i.e. lorsque $\mu^Q=6$), la mesure d'écart standardisée de test s'écrit : $$ \widehat{ \delta_{\mu^{Q},6} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \mu^{Q} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right)-6}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^{Q}}} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) \text{ (avec }\widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^Q}} }\left({\bold{ { Y_Q } }}\right)=\frac{\widehat{ \sigma_Q }\left({\bold{ { Y_Q } }}\right)}{\sqrt{n}} \text{)} $$ Rappeler très brièvement comment on peut interpréter ce résultat via l'A.E.P.

Dans la pire des situations, imaginons pouvoir disposer d'une infinité de jeux de données notés ${\bold{ y_{[1]} }},\ldots,{\bold{ y_{[m]} }},\ldots$. Imaginons encore pouvoir calculer pour chacun de ces jeux de données expérimentaux l'estimation du paramètre d'écart standardisé $\widehat{ \delta_{\mu^Q,6} }\left({\bold{ { y_{[1]} } }}\right), \ldots, \widehat{ \delta_{\mu^Q,6} }\left({\bold{ { y_{[m]} } }}\right),\ldots$. Le résultat énonce affirme que le contour supérieur de l'histogramme de l'infinité de ces estimations représentées par des briques devenues points correspond à la densité de probabilité (courbe lisse) d'une loi $\mathcal{N(0,1)}$.

(8) Si on ne souhaite excéder $5\%$ de risque de décider à tort de récompenser les employés, établir la ràgle de décision et conclure quant à la bonne qualité du produit en vous aidant des quelques instructions $\texttt{R}$.
(9) Concrètement, quelle décision doit prendre l'industriel quant au versement de la prime de fin d'année.

R> mean(yQ)
[1] 6.245
R> sd(yQ)
[1] 2.458699
R> # deltaEst.H0 <- (instruction R à fournir dans la rédaction)
R> deltaEst.H0
[1] 1.40921
R> pnorm(deltaEst.H0)
[1] 0.9206135

Hypothèses de test : $\mathbf{H}_0:$ $\mu^{Q}=6$ vs $\mathbf{H}_1:$ $\mu^{Q}>6$
Statistique de test sous $\mathbf{H}_0$ : $$ \widehat{ \delta_{\mu^{Q},6} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \mu^{Q} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right)-6}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^{Q}}} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) $$
Règle de décision : Accepter $\mathbf{H}_1$ si p-valeur (droite) < $5\%$
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{1-pnorm((mean(yQ)-6)/seMean(yQ))} \simeq 7.94\%\nless5\%, $$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que les employés méritent la prime de fin d'année.
Concrètement, l'industriel déciderait sans doute de ne pas récompenser ses employés.

Partie II (du point de vue des employés) Indépendamment des réponses précédentes un employé ayant de solides connaissances en statistiques s'interroge sur le test précédent et notamment sur les deux risques d'erreur de décision mis en jeu.
(10) Du point de vue des employés, quelle est la plus grave des deux erreurs de décision dans le test précédent ?

Du point de vue des employés, l'erreur la plus grave correspond à celle de ne pas être récompensé à tort.

(11) En tant que délégué, un employé exprime alors au nom de ses collègues la revendication suivante : "nous acceptons de ne pas recevoir de prime de fin d'année si vous pouvez prouver au vu du même jeu de données précédent que le produit n'est pas de bonne qualité (i.e. $\mu^Q<6$)". Peut-on prouver au vu des données que la note moyenne du degré de satisfaction est strictement inférieure à 6 ? (Indication : rédaction standard et conclure en fournissant la valeur de la p$-$valeur)

Hypothèses de test : $\mathbf{H}_0:$ $\mu^{Q}=6$ vs $\mathbf{H}_1:$ $\mu^{Q}<6$
Statistique de test sous $\mathbf{H}_0$ : $$ \widehat{ \delta_{\mu^{Q},6} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right) = {\displaystyle \frac{\widehat{ \mu^{Q} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right)-6}{ \widehat{ \sigma_{\widehat{ \mu^{Q}}} }\left({\bold{ { Y^{Q} } }}\right) }} \underset{Approx.}{\leadsto} \mathcal{N}(0,1) $$
Règle de décision : Accepter $\mathbf{H}_1$ si p-valeur (gauche) < $5\%$
Conclusion : puisqu'au vu des données, $$ p-valeur\overset{\mathtt{R}}{=}\mathtt{pnorm((mean(yQ)-6)/seMean(yQ))} \simeq 92.06\%\nless5\%, $$ on NE peut PAS (plutôt) penser (avec un risque de $5\%$) que les employés ne méritent pas la prime de fin d'année.

(12) Ce délégué désireux d'approfondir son argumentation, pose la question suivante à l'industriel : "si on avait obtenu $\widehat{ \mu^Q }\left({\bold{ { y^Q } }}\right)$ et $\widehat{ \sigma_{Q} }\left({\bold{ { y^Q } }}\right)$ de l'ordre de 6.245 et 2.459 respectivement non pas avec la taille d'échantillon actuelle de $n=200$ mais avec une taille plus grande, pensez-vous que vous auriez pu montrer que le produit était de bonne qualité ?" Et vous qu'en pensez-vous en vous aidant des instructions suivantes (en particulier si la taille d'échantillon avait été $n=300$, $n=500$ et $n=1000$) ?

R> (mean(yQ)-6)/sqrt(var(yQ)/300)
[1] 1.725923
R> pnorm((mean(yQ)-6)/sqrt(var(yQ)/1000))
[1] 0.9991867

Pour $n=300$, on a $\widehat{ \delta_{\mu^Q,6} }\left({\bold{ { y^Q } }}\right)\simeq 1.73>\delta_{lim,5\%}^+ \simeq 1.645$. Par conséquent, si les données n'avaient pas été obtenues avec $n=200$ mais avec $n=300$ on aurait plutôt pensé (avec un risque de $5\%$) que les employés auraient dû être récompensés (i.e. on aurait accepté $\mathbf{H_1}: \mu^Q>6$). Même conclusion, pour $n=1000$, puisque p$-$valeur (droite)$\simeq 0.01\%<5\%$. Pour $n=500$ la conclusion aurait été identique puisque $$ \frac{\widehat{ \mu^Q }\left({\bold{ { y^Q } }}\right)-6}{ \frac{ \widehat{ \sigma^Q }\left({\bold{ { y^Q } }}\right)}{\sqrt{500}} } > \frac{\widehat{ \mu^Q }\left({\bold{ { y^Q } }}\right)-6}{ \frac{ \widehat{ \sigma^Q }\left({\bold{ { y^Q } }}\right)}{\sqrt{300}} } > \delta_{lim,5\%}^+ \simeq 1.645 $$